乗法
かけ算のことを乗法とも言います。(これもあまり使いません)
乗法の結果が積である。
正負の数の乗法は
①：同符号の数では、絶対値の積に正の符号をつける。
②：異符号の数では、絶対値の積に負の符号をつける。
かけ算についても、たし算・ひき算同様たくさん問題を解いて計算に慣れましょう。
かけ算のことを乗法、その計算結果を積という
【確認問題1】
次の計算をしなさい。
- \( (+3) \times (+6) \)
- \( (-5) \times (-8) \)
- \( (-7) \times (+2) \)
- \( (+4) \times (-6) \)
- \( (+2) \times (-9) \)
- \( (+\frac{1}{5}) \times (+5) \)
- \( (-\frac{1}{4}) \times (+\frac{4}{5}) \)
- \( (-\frac{2}{3}) \times (-\frac{9}{16}) \)
- 解答
-
- \( 18 \)
- \( 40 \)
- \( -14 \)
- \( -24 \)
- \( -18 \)
- \( 1 \)
- \( -\frac{1}{4} \)
- \( \frac{3}{8} \)
2つの正負の数のかけ算(乗法)では、かける数とかけられる数を入れかえても、積は変わりません。
これを乗法の交換法則といいます。(加法の交換法則と言っていることは変わりません。)
\begin{eqnarray}
(-2) \times 6 & = & 6 \times (-2) = -12\\
a \times b & = & b \times a
\end{eqnarray}
また、かけ算(乗法)はかける順番を変えても、積は変わりません。
これを乗法の結合法則といいます。(加法の結合法則と言っていることは変わりません。)
\begin{eqnarray}
\{2 \times (-6)\} \times 5 & = & 2 \times \{(-6) \times 5\} = -60\\
(a \times b) \times c & = & a \times (b \times c)
\end{eqnarray}
積について、負の数が偶数個か奇数個かで正負が決まります。(これが一番大切！)
かけ算の中にある負の数の数が
偶数個の場合・・・積(かけ算の結果)は正の数になる
奇数個の場合・・・積(かけ算の結果)は負の数になる
【確認問題2】
次の計算をしなさい。
- \( 2 \times (-8) \times (-4) \)
- \( (-5) \times (-7) \times 3 \times (-3) \)
- \( (-\frac{1}{4}) \times \frac{3}{8} \times \frac{4}{9} \)
- \( -2.9 \times (-5.8) \times 0 \)
- 解答
-
- \( 64 \)
- \( -315 \)
- \( -\frac{1}{24} \)
- \( 0 \)
累乗
同じ数のかけ算でたとえば、\( 3 \times 3 \)のことを\( 3^2 \)と書いて、「3の2乗」
\( 5 \times 5 \times 5 \)のことを\( 5^3 \)と書いて、「5の3乗」と読みます。
このように、同じ数をいくつかかけ合わせたものを、その数の累乗といいます。
2乗を平方、3乗を立方ともいいます。
\( 3^2 \)と書いたときの2や、\( 5^3 \)と書いたときの3は、かけ合わせた同じ数の個数を表しています。
この個数を表す右上の数を指数といいます。
【確認問題3】
次の計算をしなさい。
- \( 5^2 \)
- \( -3^2 \)
- \( (-7)^3 \)
- \( (-\frac{4}{5})^2 \)
- \( 0.3^2 \)
- \( (-5)^2 \times (-2^3) \)
- 解答
-
- \( 25 \)
- \( -9 \)
- \( -343 \)
- \( \frac{16}{25} \)
- \( 0.09 \)
- \( -200 \)
除法
わり算のことを除法とも言います。(これもです、あまり言いません。頭の片隅に入れておいてください。)
除法の結果が商である。
正負の数の除法は
①：同符号の数では、絶対値の商に正の符号をつける。
②：異符号の数では、絶対値の商に負の符号をつける。
わり算も符号のつけ方はかけ算と同じなので一番大切なのは負の数の個数です。
なので負の数が奇数個なのか偶数個なのかをしっかり見ましょう。
わり算のことを除法、その計算結果を商という
【確認問題4】
次の計算をしなさい。
- \( (+15) \div (+3) \)
- \( (-36) \div (-6) \)
- \( (-42) \div (+7) \)
- \( (+56) \div (-4) \)
- \( 0 \div (-9) \)
- \( (-108) \div (-9) \)
- 解答
-
- \( 5 \)
- \( 6 \)
- \( -6 \)
- \( -14 \)
- \( 0 \)
- \( 12 \)
\( 3 \)と\( \frac{1}{3} \)のように、2つの数の積が\( 1 \)のとき、
一方の数を他方の数の逆数といいます。
わり算には、「ある数でわることは、その数の逆数をかけることと同じ」というルールがあります。
なので、基本的にはわり算がでてきたら(とくに分数のわり算の場合は)逆数をかけるという風に変換して計算をしましょう。
例)
\begin{eqnarray}
\frac{5}{6} \div (-\frac{2}{9}) & = & \frac{5}{6} \times (-\frac{9}{2}) \quad \text{逆数をかけるに変換}\\
& = & -\frac{15}{4}
\end{eqnarray}
加法、減法、乗法、除法をまとめて四則という
【確認問題5】
次の計算をしなさい。
- \( \frac{2}{3} \div (-\frac{4}{9}) \)
- \( (-\frac{1}{5}) \div (-\frac{8}{5}) \)
- \( \frac{1}{2} \div \frac{1}{7} \)
- \( (-\frac{9}{8}) \div \frac{1}{9} \)
- \( (-10) \div \frac{1}{4} \times (-\frac{1}{5}) \)
- \( (-\frac{8}{9}) \div \frac{4}{9} \div \frac{2}{3} \)
- \( (-\frac{7}{3}) \times (-\frac{1}{9}) \div (-\frac{5}{2}) \)
- \( 5 \times 12 \div \frac{5}{6} \)
- 解答
-
- \( -\frac{3}{2} \)
- \( \frac{1}{8} \)
- \( \frac{7}{2} \)
- \( -\frac{81}{8} \)
- \( 2 \)
- \( -3 \)
- \( -\frac{14}{135} \)
- \( 72 \)